玩转线性代数(28)长度、夹角和距离的笔记，相关证明以及例子见原文

内积

定义

设有n维向量
$$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)$$
令$[x,y]=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n$,
称$[x,y]$为向量x与y的内积
按矩阵的运算可表示为
$[x,y]=x^{T}y=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)$

内积的运算性质

（其中$x,y,z$为n维向量,$\lambda \in R$）
（1）$[x,y]=[y,x]$
（2）$[\lambda x,y]=\lambda [x,y]$
（3）$[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$
（4）$[x,x]\ge 0$;当且仅当$x=0$时,$[x,x]=0$

内积空间

一个定义了内积的向量空间称为内积空间
不同类型的向量空间内积的定义方法不同，但都要满足上述四条性质

长度

令$||x||=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}$,
称$||x||$为n维向量的长度（或范数）

性质

向量的长度具有如下性质：
（1）非负性: $||x||\ge 0$;当且仅当x=0时，$||x||=0$
（2）齐次性: $||\lambda x||=|\lambda |||x||$
（3）三角不等式: $||x+y||\le ||x||+||y||$
（4）对任意n维向量x,y，有$x^{T}y=[x,y]\le ||x||\cdot ||y||$,或$[x,y{]}^2\le [x,x][y,y]$
注：若令$x^T=(x_1,x_2,\cdots ,x_n),y^T=(y_1,y_2,\cdots ,y_n)$,则性质4可表示为
$$|\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i|\le \sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}\cdot \sqrt{\sum _{i=1}^n{y}_i^2}$$
上述不等式称为施瓦茨不等式，它说明了$R^n$中任意两个向量的内积与它们长度之间的关系

单位向量及单位化

单位向量：当$||x||=1$时，称x为单位向量。
向量单位化：对$R^n$中任一非零向量$\alpha$，向量$\frac{\alpha }{\Vert \alpha \Vert }$是一个单位向量，因为
$$\Vert \frac{\alpha }{\Vert \alpha \Vert }\Vert =\frac{1}{\Vert \alpha \Vert }\Vert \alpha \Vert =1$$
用非零向量$\alpha$的长度去除向量$\alpha$,得到一个非零向量，这一过程通常称为向量$\alpha$的单位化

夹角

当$\Vert \alpha \Vert \ne 0,\Vert \beta \Vert \ne 0$,定义
$$\theta =arccos\frac{[\alpha ,\beta ]}{\Vert \alpha \Vert \Vert \beta \Vert }(0\le \theta \le \pi )$$
称$\theta$为向量$\alpha$与$\beta$的夹角

距离

$R^n$空间中的两个向量u和v之间的距离用dist(u,v)来表示，计算公式为
$$dist(u,v)=\Vert u-v\Vert =\sqrt{(u_1-v_1{)}^2+(u_2-v_2{)}^2+\cdots +(u_n-v_n{)}^2}$$