NumPy 广播是一种强大的机制，允许 NumPy 在执行元素级运算时自动处理不同形状的数组。广播的规则使得无需显式地创建匹配形状的数组，直接进行运算，大大简化了代码并提高了效率。

基本概念

广播的基本思想是让较小的数组在需要的维度上进行扩展，以便与较大的数组进行兼容的形状匹配。广播的核心规则是：如果两个数组的后缘维度（即从末尾开始算起的维度）大小相同，或其中一个大小为 1，则它们是广播兼容的。

广播规则

广播机制遵循以下规则：

1. 如果两个数组的维度数不同，则将维度较小的数组的形状前面补 1，直到两个数组具有相同的维度数。
2. 然后，从末尾维度开始，比较两个数组的大小：
   • 如果两个维度大小相同，继续比较下一个维度。
   • 如果其中一个维度大小为 1，则扩展这个维度以匹配另一个维度。
   • 如果两个维度大小不同且都不为 1，则抛出错误。

示例

示例 1：相同维度

import numpy as np

A = np.array([1, 2, 3])
B = np.array([4, 5, 6])

# A 和 B 都是形状为 (3,) 的一维数组
C = A + B
print(C)  # 输出: [5 7 9]

示例 2：不同维度

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
B = np.array([1, 2, 3])

# A 的形状为 (2, 3)
# B 的形状为 (3,)
# B 被广播为 [[1, 2, 3], [1, 2, 3]]
C = A + B
print(C)  # 输出: [[2 4 6]
          #      [5 7 9]]

示例 3：扩展维度

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
B = np.array([[1], [2]])

# A 的形状为 (2, 3)
# B 的形状为 (2, 1)
# B 被广播为 [[1, 1, 1], [2, 2, 2]]
C = A + B
print(C)  # 输出: [[2 3 4]
          #      [6 7 8]]

广播机制的实际应用

广播机制在数据处理和科学计算中非常有用，可以简化许多操作。下面是一些常见的应用场景：

标量和数组的运算

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
B = np.array([[1], [2]])

# A 的形状为 (2, 3)
# B 的形状为 (2, 1)
# B 被广播为 [[1, 1, 1], [2, 2, 2]]
C = A + B
print(C)  # 输出: [[2 3 4]
          #      [6 7 8]]

矩阵和向量的运算

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
B = np.array([1, 0, 1])

# B 被广播为 [[1, 0, 1], [1, 0, 1]]
C = A * B
print(C)  # 输出: [[1 0 3]
          #      [4 0 6]]

总结

广播机制使得 NumPy 可以在不同形状的数组之间进行元素级运算，而无需显式地创建匹配形状的数组。理解和利用广播可以大大简化代码，提高运算效率。

对于详细的广播规则和更多的示例，你可以参考 NumPy 的官方文档：NumPy Broadcasting。